為什么井蓋基本上都是圓形的？

很多時(shí)候，我們走在城市的街道上，低頭看路時(shí)，都會(huì)覺(jué)得為什么道路上，非機(jī)動(dòng)車道上都有那么多圓溜溜的甘肅井蓋廠家。雖然這也并沒(méi)有影響到太多通行，但是總覺(jué)得馬路上留著這么多坑坑巴巴的痕跡總不太美觀。于是善于觀察的同志們便會(huì)提出一個(gè)疑問(wèn)？為什么大大小小的井蓋幾乎都是圓的，而別的形狀的井蓋卻很少見呢？   

面試題刁鉆古怪的微軟  可能你們都知道這樣一個(gè)看似無(wú)厘頭的問(wèn)題是一道經(jīng)典的面試題目，據(jù)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題可以從各個(gè)方面來(lái)進(jìn)行回答。有的人說(shuō)因?yàn)閳A形井蓋容易運(yùn)輸，且邊角不容易被磕磕碰碰，這是對(duì)的，圓形相對(duì)于三角形，正方形確實(shí)有這個(gè)優(yōu)點(diǎn)。有人說(shuō)，圓形井蓋在受力時(shí)，會(huì)均勻地把力分散開來(lái)，不會(huì)在某個(gè)位置聚集，從而不容易導(dǎo)致邊緣破裂，這也是對(duì)的。還有人從哲學(xué)的高度來(lái)解釋，之所以用圓形井蓋比較多，那是因?yàn)楸旧砭诰褪菆A形的啊，原來(lái)井蓋打造成圓形是天經(jīng)地義的事情啊。  

但是曉然菌還是想從數(shù)學(xué)的角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題。   

圓形井蓋  井蓋是維護(hù)城市生活正常運(yùn)行的重要設(shè)施，萬(wàn)一破碎或者被盜，對(duì)于該區(qū)域的人們來(lái)說(shuō)影響都會(huì)很大，甚至?xí)?dǎo)致生命安全事故發(fā)生。防盜，現(xiàn)在早已不用金屬材質(zhì)了，真的沒(méi)有多少經(jīng)濟(jì)上的價(jià)值了。井蓋就算不被盜，那也不能直接從井口掉下去吧。沒(méi)錯(cuò)，在數(shù)學(xué)上，大部分井蓋造成圓形，就是為了不讓井蓋掉進(jìn)井里。   

青海井蓋還是圓形居多  我們來(lái)做個(gè)試驗(yàn)，我們用正三角形，正方形分別來(lái)充當(dāng)井蓋，試驗(yàn)翻轉(zhuǎn)一下看看能不能從井口掉下。這里要注意的是，實(shí)際上井口會(huì)比井蓋稍微大一丁點(diǎn)，這一丁點(diǎn)保證了井蓋可以圓潤(rùn)地搭在井口內(nèi)。不過(guò)這大的一丁點(diǎn)相比于整個(gè)井蓋的大小是微不足道的，于是在分析中可以忽略不計(jì)。   

井口與井蓋的結(jié)構(gòu)關(guān)系  對(duì)于三角形井蓋來(lái)說(shuō)，當(dāng)你準(zhǔn)備把正三角形放入井口，我們以垂直將井蓋放進(jìn)去，很快就發(fā)現(xiàn)，在放置的過(guò)程中假如偏轉(zhuǎn)一定的角度以避開那些長(zhǎng)的井蓋邊長(zhǎng)觸碰到井口，很容易，三角形井蓋就穿過(guò)井口，且不會(huì)碰到井口邊沿的任何位置。我們可能一時(shí)半會(huì)搞不清是哪些長(zhǎng)度決定著是否能夠落入井口，于是我們從各個(gè)角度來(lái)嘗試。

三角形井蓋不可行  很快我們發(fā)現(xiàn)根本原因是正三角形的高小于邊長(zhǎng)，也就是說(shuō)h。   

正三角形高與邊長(zhǎng)的關(guān)系  既然三角形不行，那么正方形呢？  

于是我們重復(fù)上面的操作，很快我們發(fā)現(xiàn)，還是可以在下落的過(guò)程中讓正方形完全落進(jìn)井口里。不過(guò)這里的長(zhǎng)度關(guān)系就不是上面的高與邊長(zhǎng)的關(guān)系了。   

正方形同樣不可行  我們?cè)谙侣溥^(guò)程中會(huì)旋轉(zhuǎn)角度，從多個(gè)方向嘗試過(guò)后，我們發(fā)現(xiàn)是因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線大于其邊長(zhǎng)，也就是a>c。所以每次我們總是能夠把正方形翻轉(zhuǎn)角度使得它可以在對(duì)角線長(zhǎng)度以內(nèi)落進(jìn)井口。  

正方形邊長(zhǎng)與對(duì)角線關(guān)系  那我們換成矩形呢？其實(shí)是一樣的啊，因?yàn)楣垂啥ɡ泶嬖冢瑢?duì)角線的長(zhǎng)度適中都會(huì)比任何一個(gè)邊要長(zhǎng)。所以矩形也可以完全不觸碰井蓋邊緣就落進(jìn)井底。  這個(gè)時(shí)候我們嘗試了三角形，正方形，接下來(lái)，我們?cè)賮?lái)考察一下正五邊形。有了前面兩種情況的分析，我們發(fā)現(xiàn)，井蓋是否能夠落入井口的根本原因是對(duì)角線與高的長(zhǎng)度關(guān)系。因此我們不必再做實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，我們畫出正五邊形來(lái)，通過(guò)理論來(lái)計(jì)算一下正五邊形對(duì)角線和高的關(guān)系。   

正五邊形   正五邊形對(duì)角線與高 的關(guān)系  通過(guò)對(duì)正五邊形的考察，從一開始我們列出的等式可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)邊的數(shù)量越多時(shí)，對(duì)角線和高就越接近。  

當(dāng)高與對(duì)角線的長(zhǎng)度差距越大時(shí)，越容易掉落井口里，因?yàn)樵诼湎碌倪^(guò)程中，可以翻轉(zhuǎn)的角度和空間越多。當(dāng)高與對(duì)角線的長(zhǎng)度逐漸逼近時(shí)，此時(shí)在落下的過(guò)程中，翻轉(zhuǎn)角度就顯得不是那么容易實(shí)現(xiàn)了。   

推廣到無(wú)窮多邊形時(shí)，滿足條件的井蓋自然是圓形的于是，我們很自然地推廣到，當(dāng)邊數(shù)無(wú)窮大的時(shí)候，也就是圓時(shí)，此時(shí)，高和對(duì)角線會(huì)越來(lái)越接近，到后就分不清多邊形的高和對(duì)角線了。因此我們無(wú)論怎么翻轉(zhuǎn)圓形井蓋，圓始終都會(huì)與井蓋牢牢卡住，從而掉不進(jìn)去。  

那么現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了，是不是只有圓形井蓋落不到井口下面去？當(dāng)然不是，圓形并不是能否掉落井蓋的根本原因，根本原因在于那句話。  

只要在翻轉(zhuǎn)圖形的過(guò)程中，圖形寬度始終保持一致即可。圓形在任何角度上觀察，圖形占據(jù)的寬度都是相同的，這樣就導(dǎo)致了圓形在下落過(guò)程中，翻轉(zhuǎn)動(dòng)作以規(guī)避井口的操作無(wú)效。我們把這種性質(zhì)叫作等寬性，只要我們能再找出一種滿足等寬性的圖形，那就可以新發(fā)明一種“井蓋”了。